线性代数应该这样学.pdf
《线性代数应该这样学》（第四版）是Sheldon Axler教授的著作《Linear Algebra Done Right, fourth edition》的中文翻译版，由吴俊达和何阳共同翻译。该书于2024年8月4日发布，并计划于2026年6月1日修订。
本书的核心理念是“线性代数应该这样学”，它强调对抽象向量空间和线性映射的深入理解，与传统教材将行列式放在开篇的做法不同，Axler选择将行列式概念置于最后一章。这种编排旨在提供更深刻的数学洞察，帮助读者直指线性代数的核心目标——理解线性算子的结构。
本书对预备知识要求较低，语言通俗易懂，论述详细。作者鼓励读者沉浸式学习，深刻理解每个定义、定理和证明，通过自行验证、举例说明和讨论来加深理解。这使得本书不仅适合作为数学专业学生的课程参考书，也适合非数学类理工科学生的进阶自学，或供教师开设相关进阶课程。
第四版在内容上进行了多项重要改进和补充，包括：
* 新增二百五十余道习题和七十余个例子，丰富了学习资源。
* 增加了最小多项式的使用，简化了多个定理的证明过程。
* 新增了关于可交换算子、伪逆、QR分解和楚列斯基分解等小节。
* 拓宽了奇异值分解的适用范围，使其能处理从一个内积空间到另一个（可能不同）内积空间的线性映射，并简化了极分解的证明。
* 新增线性映射范数、低维值域逼近等小节，并对复向量空间上算子的广义特征向量基存在性提供了全新的初等证明。
* 新增了第九章“多重线性代数”，行列式通过交错多重线性型定义，不依赖于基。
* 版式设计也进行了全面更新，以提供更好的阅读体验。
全书共分为九章：
1. **向量空间**：定义向量空间及其基本性质，如子空间、和、直和。
2. **有限维向量空间**：探讨张成空间、线性无关性、基和维数。
3. **线性映射**：介绍线性映射的定义、代数运算、零空间、值域、矩阵表示、可逆性、同构、向量空间的积与商以及对偶空间。
4. **多项式**：讨论多项式的零点、带余除法以及在复数域和实数域上的分解。
5. **特征值和特征向量**：引入不变子空间、最小多项式、上三角矩阵、可对角化算子和可交换算子。
6. **内积空间**：定义内积和范数、规范正交基、正交补、最小化问题及伪逆。
7. **内积空间上的算子**：讨论伴随、自伴算子、正规算子、谱定理、正算子、等距映射、幺正算子、矩阵分解和奇异值分解。
8. **复向量空间上的算子**：聚焦广义特征向量、幂零算子、广义特征空间分解、若尔当型和迹。
9. **多重线性代数和行列式**：介绍双线性型、二次型、交错多重线性型、行列式及张量积。
本书采用知识共享署名-非商业性使用4.0国际许可协议进行许可，方便学习者免费获取和使用。
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